Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，則當(dāng)x=________時(shí)，f（x）取得最小值．

Answer 1

分析：本題中的函數(shù)是一個(gè)絕對(duì)值函數(shù)，可以利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)|x-a|+|x-b|≥|a-b|求最值，為達(dá)到消去變量的目的，可將函數(shù)變形為f（x）═|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|，共有5050個(gè)絕對(duì)值相加，利用性質(zhì)配對(duì)求最值即可．
解答：f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x-|+3|x-|+…+100|x-|
=|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|
共有（1+100）×100×=5050項(xiàng)
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
（注：|x-a|為x到a的距離…
|x-a|+|x-b|即為x到a的距離加上x(chóng)到b的距離，
當(dāng)x在a，b之間時(shí)，|x-a|+|x-b|最小且值為a到b的距離）
所以f（x）的5050項(xiàng) 前后對(duì)應(yīng)每?jī)身?xiàng)相加，使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f（x）≥（1-）+（-）+…+…當(dāng)x在每一對(duì)a，b之間時(shí)，等號(hào)成立
由于70×（1+70）×=2485
71×（71+1）×=2556
所以f（x）最中間的兩項(xiàng)（第2525，2526項(xiàng)）是|x-|
所以f（x）≥（1-）+（-）+…+（-）
當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立
則當(dāng)x=時(shí)f（x）取得最小值
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)求最值的應(yīng)用，由于本題是一個(gè)項(xiàng)數(shù)很多的絕對(duì)值函數(shù)求最值，所可以借助的工具只有絕對(duì)值的性質(zhì)，消去變量，判斷出最小值，為此將函數(shù)解析式變形為可以利用絕對(duì)值的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵，本題考查了判斷推理能力，綜合運(yùn)用知識(shí)變形的能力，本題解題的難點(diǎn)有二，一是利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，一是根據(jù)變形后的形式判斷出最值取到的位置，本題處理數(shù)據(jù)較難，需要較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)