Question

已知復(fù)數(shù)z=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，有，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫(xiě)出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式：
（Ⅱ）將（x、y）用為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x'、y'）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q．已知點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若直線(xiàn)y=kx上的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線(xiàn)上，試求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）對(duì)式子兩邊取模，再由“|w|=2|z|”求出|z|的值，再求出m的值代入，利用共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出關(guān)系式；
（Ⅱ）把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入（I）所得的關(guān)系式求解即可；
（Ⅲ）設(shè)出直線(xiàn)y=kx上的任意點(diǎn)P（x，y），由（I）求出Q的坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程化簡(jiǎn)，并對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)：k=0和k≠0，分別求解并判斷是否是同一條直線(xiàn)．
解答：解：（I）由題設(shè)得，，∴|z|=2，
由，∴z=1i，
∵，
∴==，
由復(fù)數(shù)相等得，，
（Ⅱ）由（I）和題意得，，解得，
即P點(diǎn)的坐標(biāo)為．                 
（Ⅲ）∵直線(xiàn)y=kx上的任意點(diǎn)P（x，y），
其經(jīng)變換后的點(diǎn)仍在該直線(xiàn)上，
∴，
即
∵當(dāng)k=0時(shí)，y=0，不是同一條直線(xiàn)，
∴k≠0，
于是，
即，
解得
點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模和幾何意義，復(fù)數(shù)相等充要條件等，以及點(diǎn)與直線(xiàn)問(wèn)題等，應(yīng)是復(fù)數(shù)中少見(jiàn)的綜合題．