Question

已知△ABC的面積S=

3

4

(b2+c2-a2)，其中a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形面積公式表示出S，利用余弦定理列出關(guān)系式，分別代入已知等式中變形求出tanA的值，即可確定出角A的大小；
（Ⅱ）由題意求出B的范圍，得出B+

π

6

的范圍，根據(jù)A度數(shù)求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入所求式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域與值域即可確定出范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵S=

3

4

（b²+c²-a²），S=

1

2

bcsinA，a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

•2bccosA，即sinA=

3

cosA，
∴tanA=

3

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由題知：B∈（0，

2π

3

），
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

），
∵sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
則sinB+sinC的取值范圍是（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．