Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n（n+1），正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n+2=

b2n+1

bn

，且b₁b₃=4，b₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n（n+1），利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；由正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n+2=

b2n+1

bn

，且b₁b₃=4，b₄=8，利用等比數(shù)列的性質(zhì)能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．
（2）由（1）和題設(shè)件，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n（n+1），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
∵a₁=1滿足a_n=2n，
∴a_n=2n．
∵正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n+2=

b2n+1

bn

，
∴{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，且q＞0
∵且b₁b₃=4，b₄=8，
∴

b12q2=4 b1q3=8

，解得b₁=1，q=2，
∴bn=2n-1．
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
由①-②得：
-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹+2-2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．