Question

如圖，以A₁、A₂為焦 點(diǎn)的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C、D、C₁、D₁，連接CC₁與OB交于點(diǎn)H，且有是圓O與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，c為雙曲線的半焦距.

（1）當(dāng)c=1時(shí)，求雙曲線E的方程；

（2）試證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)；

（3）連接A₁C，與雙曲線E交于點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：

   

（1）由c=1知B（0，1），

   即，點(diǎn)C在單位圓上，

設(shè)雙曲線E的方程為

由點(diǎn)C在雙曲線E上，半焦距c=1有：

所以雙曲線E的方程為：

（2）證明：

得：

設(shè)雙曲線E的方程為

① ②

   

①代入②，化簡(jiǎn)整理得

解得

又

，即雙曲線E的離心率是與c無關(guān)的常數(shù).

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使恒成立，

有

點(diǎn)點(diǎn)C、F都在雙曲線E上，故有

④

③

由③得  ⑤

⑤代入④得化簡(jiǎn)整理得

即（2）小題的結(jié)論得：

故存在實(shí)數(shù)，使恒成立