解:(Ⅰ)∵f′(x)=ax
2+2bx+c,
∴f′(1)=a+2b+c=0又a<b<c,
得4a<a+2b+c<4c,即4a<0<4c,
故a<0,c>0.
則判別式△=4b
2-4ac≥0,
∴方程f′(x)=ax
2+2bx+c=0(*)有兩個不等實根,
設(shè)為x
1,x
2,又由f′(1)=a+2b+c=0知,x
1=1為方程(*)的一個實根,
又由根與系數(shù)的關(guān)系得

,

.(3分)
當(dāng)x<x
2或x>x
1時,f′(x)<0,當(dāng)x
2<x<x
1時,f′(x)>0,
故函數(shù)f(x)的遞增函數(shù)區(qū)間為[x
2,x
1],
由題設(shè)知[x
2,x
1]=[s,t],
因此

,(6分)
由(1)知

,得|s-t|的取值范圍為[2,4). (8分)
(Ⅱ)由f′(x)+a<0,即ax
2+2bx+a+c<0,即ax
2+2bx-2b<0.
因a<0,得

,整理得

. (9分)
設(shè)

,它可以看作是關(guān)于

的一次函數(shù).
由題意,函數(shù)y=

對于

恒成立.
故

,即

,得

或

.(11分)
由題意

,故

.
因此k的最小值為

.(13分).
分析:(Ⅰ)由題設(shè)先求出f′(x)=ax
2+2bx+c,再由f′(1)=a+2b+c=0,a<b<c,推導(dǎo)出判別式△=4b
2-4ac≥0,由此利用題設(shè)條件,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,能夠得到|s-t|的取值范圍.
(Ⅱ)由f′(x)+a<0,a<0,得

.設(shè)

,由題意,函數(shù)y=

對于

恒成立.由此能求出k的最小值.
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,仔細解答.