Question

設無窮數列{a_n}滿足：?n∈Ν^?，a_n<a_n＋1，a_n∈N^?．記b_n＝aa_n，c_n＝aa_n＋1(n∈N^*)．
(1)若b_n＝3n(n∈N^*)，求證：a₁＝2，并求c₁的值；
(2)若{c_n}是公差為1的等差數列，問{a_n}是否為等差數列，證明你的結論．

Answer 1

（1）6，證明見解析（2）是

(1)因為a_n∈N^?，所以若a₁＝1，則b₁＝aa₁＝a₁＝3矛盾，
若a₁≥3＝aa₁，可得1≥a₁≥3矛盾，所以a₁＝2.于是a₂＝aa₁＝3，從而c₁＝aa₁＋1＝a₃＝aa₂＝6.
(2){a_n}是公差為1的等差數列，證明如下：a_n＋1>a_n?n≥2時，a_n>a_n－1，所以a_n≥a_n－1＋1?a_n≥a_m＋(n－m)，(m<n)
aa_n＋1＋1≥aa_n＋1＋a_n＋1＋1－(a_n＋1)，即c_n＋1－c_n≥a_n＋1－a_n，由題設，1≥a_n＋1－a_n，又a_n＋1－a_n≥1，所以a_n＋1－a_n＝1，即{a_n}是等差數列．