Question

點P是△ABC所在平面外一點，A′，B′，C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心．
求證：（1）平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求A′B′：AB．

Answer 1

分析：（1）由A′，B′，C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，和三角形重心所具有的特性可證A′C′∥平面ABC與A′B′∥平面ABC，可證平面ABC∥平面A′B′C′
（2）由三角形重心所具有的特性可找出A′B′與NQ的比，及AB與NQ的比即可找A′B′：AB

解答：證明：（1）如圖，分別取AB，BC，CA的中點M，N，Q，
連接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM，
∵A′，B′，C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
∴A′，B′，C′分別在PN，PQ，PM上，
且PC′：PM=PA：PN=PB：PQ=2：3．
在△PMN中，

PC′

PM

=

PA′

PN

=

2

3

，故C′A′∥MN，
又M，N為△ABC的邊AB，BC的中點，MN∥AC，
∴A′C′∥AC，∴A′C′∥平面ABC，
同理A′B′∥平面ABC∴平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）由（1）知

A′B′

QN

=

2

3

，

QN

AB

=

1

2

，∴A′B′：AB=1：3．

點評：要證“線面平行”，只要證“線線平行”，故問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行．