Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)，證明：對(duì)任意，.

Answer 1

（Ⅰ）分類討論得到單調(diào)性      （Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)的方法證明.      

試題分析：(Ⅰ) f(x)的定義域?yàn)?0,+)，  
當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；
當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；
當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時(shí), ＞0；
x∈(，+)時(shí)，＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少   
(Ⅱ)不妨設(shè)x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.
所以等價(jià)于≥4x₁－4x₂,
即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁.         
令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.               
于是≤＝≤0.
從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x₁) ≤g(x₂)，即　f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，
故對(duì)任意x₁,x₂∈(0,+) ，.
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值問(wèn)題，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬難題．