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        1. 如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為60°的扇形,∠POQ的平分線交弧PQ于點(diǎn)E,扇形POQ的內(nèi)接矩形ABCD關(guān)于OE對(duì)稱;設(shè)∠POB=α,矩形ABCD的面積為S.
          (1)求S與α的函數(shù)關(guān)系f(α);
          (2)求S=f(α)的最大值.
          分析:(1)由題意可得△AOD為等邊三角形,求得BC=2sin(
          π
          6
          -α)=cosα-
          3
          sinα.再求得∠ABO=
          π
          6
          -α,△OAB中,利用正弦定理求得AB=2sinα.
          可得矩形ABCD的面積S=f(α)=AB•BC=2sinα(cosα-
          3
          sinα), (0<α<
          π
          6
          )

          (2)由(1)可得S=f(α)=2sin(2α+
          π
          3
          )-
          3
          .再由 0<α<
          π
          6
          ,根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得S=f(α)的最大值.
          解答:解:(1)由題意可得AB∥OE∥CD,∴∠POE=∠PAB=
          π
          6
          ,∴∠OAD=
          π
          3
          =∠ADO,∠BOC=
          π
          3
          -2α,△AOD為等邊三角形.
          故BC=2sin(
          π
          6
          -α)=2(
          1
          2
          cosα-
          3
          2
          sinα)=cosα-
          3
          sinα.
          再由∠ABO=π-∠AOB-∠OAD-∠BAD=π-α-
          π
          3
          -
          π
          2
          =
          π
          6
          -α,△OAB中,利用正弦定理可得
          AB
          sin∠AOB
          =
          OB
          sin∠OAB

          AB
          sinα
          =
          1
          sin(
          π
          3
          +
          π
          2
          )
          ,化簡(jiǎn)可得AB=2sinα.
          故矩形ABCD的面積S=f(α)=AB•BC=2sinα(cosα-
          3
          sinα), (0<α<
          π
          6
          )

          (2)由(1)可得S=f(α)=2sinαcosα-2
          3
          sin2α=sin2α+
          3
          cos2α-
          3
          =2(
          1
          2
          sin2α+
          3
          2
          cos2α)-
          3

          =2sin(2α+
          π
          3
          )-
          3

          再由 0<α<
          π
          6
          可得
          π
          3
          <2α+
          π
          3
          3
          ,故當(dāng) 2α+
          π
          3
          =
          π
          2
          ,即當(dāng)α=
          π
          12
          時(shí),S=f(α)取得最大值為2-
          3
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系、兩角和差的三角公式、正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)請(qǐng)找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系(以α為自變量);
          (2)求當(dāng)α為何值時(shí),矩形ABCD的面積最大?并求出這個(gè)最大面積.

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