Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）記的極小值為，求的最大值；

（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可；

（2）通過討論的范圍，問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可．

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，.

，得，所以的單調(diào)區(qū)間是，函數(shù)在處取極小值，

.

，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

所以是函數(shù)在上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，恒成立.

當(dāng)時(shí)，，即，即.

令，，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，故的最小值為，

所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

，，，由上面可知恒成立,

故在上單調(diào)遞增，所以，

即的取值范圍是.