Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

m

=（sinA，sinB-sinC），

n

=（a-

3

b，b+c），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求

3

a-b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直，得到數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡后整理得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosC，將得出關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，利用正弦定理化簡表示出a與b，代入所求式子，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinA，sinB-sinC），

n

=（a-

3

b，b+c），且

m

⊥

n

，
∴sinA（a-

3

b）+（sinB-sinC）（b+c）=0，
利用正弦定理化簡得：a（a-

3

b）+（b+c）（b-c）=0，即a²+b²-c²=

3

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

6

；
（2）由（1）得A+B=

5π

6

，即B=

5π

6

-A，
又△ABC為銳角三角形，
∴

0＜ 5π 6 -A＜ π 2 0＜A＜ π 2

，
解得：

π

3

＜A＜

π

2

，
∵c=1，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

sin π 6

=2，
∴a=2sinA，b=2sinB，
∴

3

a-b=2

3

sinA-2sinB=2

3

sinA-2sin（

π

6

+A）=2

3

sinA-2sin

π

6

cosA-2cos

π

6

sinA=

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

），
∵

π

3

＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜A-

π

6

＜

π

3

，
∴

1

2

＜sin（A-

π

6

）＜

3

2

，即1＜2sin（A-

π

6

）＜

3

，
則

3

a-b的取值范圍為（1，

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．