Question

已知集合P={x|

1

2

≤x≤3}，集合Q是函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域．
（1）若P∩Q=[

1

2

，

2

3

)，P∪Q=(-2，3]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若P∩Q=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合題意，得出不等式ax²-2x+2＞0的解集為(-2，

2

3

)．說明a為負(fù)數(shù)且

2 a =-2+ 2 3 2 a =-2× 2 3

，可得實(shí)數(shù)a的值；
（2）P∩Q=∅，問題等價(jià)于?x∈P，ax²-2x+2≤0在區(qū)間[

1

2

，3]恒成立，采用變量分離，可得：．a≤-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

，結(jié)合

1

3

≤

1

x

≤2，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵P∩Q=[

1

2

，

2

3

)，P∪Q=(-2，3]，P=[

1

2

，3]，
∴Q=(-2，

2

3

)．
即不等式ax²-2x+2＞0的解集為(-2，

2

3

)．
∴a＜0且

2 a =-2+ 2 3 2 a =-2× 2 3

．
∴a=-

3

2

．
（2）∵P∩Q=∅，
∴問題等價(jià)于?x∈P，ax²-2x+2≤0恒成立．
∵

1

2

≤x≤3，
∴a≤

2x-2

x2

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

．
∵

1

3

≤

1

x

≤2，
∴-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

∈[-4，

1

2

]．
∴a≤-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合中的參數(shù)取值問題，屬于中檔題．在處理恒成立問題時(shí)，用變量分離的方法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．