Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a+

1

4x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性（不需要寫出理由）；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x）+f（-x）=0對(duì)應(yīng)任意的x都成立，代入函數(shù)可求a
另解：由f（x）是R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，代入可求a
（2）由（1）知f(x)=-

1

2

+

1

4x+1

，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)單調(diào)性
（3）：解法一：由f（x）是奇函數(shù)，可得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），結(jié)合f（x）在R上為減函數(shù)，得：t²-2t＞-2t²+k．，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求
解法二：由（1）知f(x)=

-4 x+1

2•4x+2

，由單調(diào)性的定義可得43t2-2t-k＞1，同法一可求

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（x）+f（-x）=0，
即a+

1

4x+1

+a+

1

4-x+1

=2a+

1

4x+1

+

4x

1+4x

=2a+1=0，
故a=-

1

2

．
另解：由f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，
故a=-

1

2

．
（2）由（1）知f(x)=-

1

2

+

1

4x+1

，
由上式易知f（x）在R上為減函數(shù)，
（3）：（解法一）又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）．
∵f（x）在R上為減函數(shù)，由上式得：t²-2t＞-2t²+k．
即對(duì)一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0
∴k＜-

1

3

解法二：由（1）知f(x)=

-4 x+1

2•4x+2

，又由題設(shè)條件得：

-4 t2-2t+1

2•4t2-2t+2

+

-42t2-k+1

2•42t2-k+2

＜0
即(42t2-k+1)(-4t2-2t+1)+(4t2-2t+1)(-42t2-k+1)＜0
整理得43t2-2t-k＞1，因底數(shù)4＞1，故3t²-2t-k＞0
上式對(duì)一切t∈R均成立，從而判別式△=4+12k＜0
∴k＜-

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）及奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于函數(shù)的綜合應(yīng)用．