Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a∈N^*），若不等式f（x）＜2x的解集為（1，4），且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用“3個(gè)二次”的關(guān)系即可得出；
（2）不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）∵不等式f（x）＜2x的解集為（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即ax²+（b-1）x+c=0的△=（b-1）²-4ac=0．
聯(lián)立

a+b+c-2=0 16a+4b+c-8=0 (b-1)2-4ac=0 a＞0

，解得

a=1 b=-3 c=4

．
∴f（x）=x²-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立?m＜

f(x)

x

=x+

4

x

-3在x∈（1，+∞）上恒成立；
令g（x）=x+

4

x

-3(x＞1)，則g(x)≥2

x• 4 x

-3=4-3=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號．
∴m＜1．

點(diǎn)評：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次不等式的解集得到對應(yīng)方程的根，對于不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式求函數(shù)的最值得到．