Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k
（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；
（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；
（3）對任意k＞0，求證：PA⊥PB．

Answer 1

分析：（1）由題設寫出點M，N的坐標，求出線段MN中點坐標，根據線PA過原點和斜率公式，即可求出k的值；
（2）寫出直線PA的方程，代入橢圓，求出點P，A的坐標，求出直線AB的方程，根據點到直線的距離公式，即可求得點P到直線AB的距離d；
（3）要證PA⊥PB，只需證直線PB與直線PA的斜率之積為-1，根據題意求出它們的斜率，即證的結果．

解答：解：（1）由題設知，a=2，b=

2

，
故M（-2，0），N（0，-

2

），所以線段MN中點坐標為（-1，-

2

2

）．
由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過原點，
所以k=

2

2

．
（2）直線PA的方程為y=2x，代入橢圓方程得

x2

4

+

4x2

2

=1，解得x=±

2

3

，
因此P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

）
于是C（

2

3

，0），直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為x-y-

2

3

=0．
因此，d=

| 2 3 - 4 3 - 2 3 |

1+1

=

2 2

3

．
（3）設P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，
A（-x₁，-y₁），C（x₁，0）．
設直線PB，AB的斜率分別為k₁，k₂．
因為C在直線AB上，所以k₂=

0-(-y1)

x1-(-x1)

=

y1

2x1

=

k

2

，
從而kk₁+1=2k₁k₂+1=2•

y2-y1

x2- x1

•

y2-(-y1)

x2-(-x1)

+1=

2 y 2 2 -2 y 2 1

x 2 2 - x 2 1

+1
=

x 2 2 +2 y 2 2 -( x 2 1 +2 y 2 1 )

x 2 2 - x 2 1

=

4-4

x22-x12

=0．
因此kk₁=-1，所以PA⊥PB．

點評：此題是個難題．考查橢圓的標準方程和簡單的幾何性質，以及直線斜率的求法，以及直線與橢圓的位置關系，體現了方程的思想和數形結合思想，同時也考查了學生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．