Question

給定函數(shù)f(x)=

x3

3

-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+

a2

x

（I）求證：f（x）總有兩個(gè)極值點(diǎn)；
（II）若f（x）和g（x）有相同的極值點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

分析：（I）題目中欲證：“在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)”，利用導(dǎo)數(shù)的意義．即導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f′（x）=0的根的問題，利用根的判別式大于零解決即可．
（II）對函數(shù) g（x）求導(dǎo)可得g′(x)=1-

a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

由g'（x）=0，可得得x=a或-a，結(jié)合（I）中結(jié)論，從而可得a．

解答：證明：（I）因?yàn)閒'（x）=x²-2ax+（a²-1）=[x-（a+1）][x-（a-1）]，
令f'（x）=0，則x₁=a+1，x₂=a-1，------------------------------------------（2分）
則當(dāng)x＜a-1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)a-1＜x＜a+1，f'（x）＜0
所以x=a-1為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，-----------------------（4分）
同理可證x=a+1為f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)．-------------------------------------（5分）
另解：（I）因?yàn)閒′（x）=x²-2ax+（a²-1）是一個(gè)二次函數(shù)，
且△=（-2a）²-4（a²-1）=4＞0，-------------------------------------（2分）
所以導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
又因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．---------------------------------------（5分）
（II） 因?yàn)?span id="w8bgtpn" class="MathJye">g′(x)=1-

a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，
令g'（x）=0，則x₁=a，x₂=-a---------------------------------------（6分）
因?yàn)閒（x）和g（x）有相同的極值點(diǎn)，且x₁=a和a+1，a-1不可能相等，
所以當(dāng)-a=a+1時(shí)，a=-

1

2

，當(dāng)-a=a-1時(shí)，a=

1

2

，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-

1

2

和a=

1

2

時(shí)，x₁=a，x₂=-a都是g（x）的極值點(diǎn)．--------------（8分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值等基礎(chǔ)知識，三次函數(shù)的單調(diào)性可借助于導(dǎo)函數(shù)（二次函數(shù)）來分析，解得本題不但要熟練掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)的知識，還要具備一定的邏輯推理的能力，此題對考生的能力要求較高．