Question

在△ABC中，a，b，c表示角A，B，C的對(duì)邊，且P=

a+b+c

2

．
求證：
（1）S_△ABC=

p(p-a)(p-b)(p-c)

；
（2）△ABC中，內(nèi)切圓的半徑為r，則r=

(p-a)(p-c)(p-b) p

．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理與三角形的面積公式，直接通過(guò)因式分解，用三角公式和公式變形來(lái)證明．
（2）通過(guò)三角形的面積公式直接求出內(nèi)接圓的半徑．

解答：解：（1）因?yàn)槿�角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，由余弦定理得，
 cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
S=

1

2

absinC
=

1

2

ab

1-cos2C

=

1

2

ab

1-( a2+b2-c2 2ab )2

=

1

4

4a2b2-(a2+b2-c2)2

1

4

(2ab+ a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)

1

4

(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+c+b)

設(shè)p=

1

2

（a+b+c）
則p-a=

1

2

（-a+b+c），p-b=

1

2

（a-b+c），p-c=

1

2

（a+b-c），
上式=

1 16 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+c+b)

=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，
所以，三角形ABC面積S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
（2）△ABC中，內(nèi)切圓的半徑為r，則

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=S_△ABC=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，

1

2

r(a+b+c)=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，
即rp=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，
所以r=

(p-a)(p-c)(p-b) p

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積公式的證明，內(nèi)切圓的半徑的求法，考查計(jì)算能力．