Question

（2006•嘉定區(qū)二模）在四面體ABCD中，BD、CD、AD兩兩互相垂直，且BD=CD=4，E是BC中點(diǎn)，異面直線AB與DE所成角的大小是arccos

2

5

，求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析：建立如圖所示坐標(biāo)系，得A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的公式結(jié)合AD、BE所成角為arccos

2

5

，解出BD的長度，最后運(yùn)用錐體的體積公式即可算出四面體ABCD的體積．

解答：解：取AC中點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF，則EF∥AB，
∴∠DEF（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與DE所成的角…（2分）
設(shè)AD=h，在△DEF中，DE=2

2

，EF=DF=

1

2

h2+16

，…（4分）
則∠DEF=∠EDF，于是∠DEF為銳角，cos∠DEF=

2

5

，…（6分）
cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2•DE•EF

=

8

2•2 2 • 1 2 h2+16

=

2 2

h2+16

=

2

5

解得h=2

21

…（10分）
∴V=

1

3

Sh=

1

3

•

1

2

•4•4•2

21

=

16 21

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊三棱錐，在已知異面直線所成角的基礎(chǔ)之上求錐體的體積．著重考查了利用空間坐標(biāo)系的方法研究異面直線所成角和錐體的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．