Question

定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，n]上是連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，且f（m）f（n）＜0，則存在唯一一個x∈（m，n）使f（x）=0．已知．
（1）若是減函數(shù)，求a的取值范圍．
（2）是否存在同時成立，若存在，指出c、d之間的等式關(guān)系，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)可達(dá)g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a，依題意由g（x）在[0，]單調(diào)遞減可得上恒成立即a≥-cos（cosx）sinx，可求a的取值范圍
（2）由（1）知：當(dāng)a=1時，上是減函數(shù)且，根據(jù)零點(diǎn)判定定理可得存在唯一，同理知存在即cosf（d）=d成立，從而可證
解答：解：（1）∵g（x）=sin（cosx）-ax∴g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a
依題意恒成立
即a≥-cos（cosx）sinx
顯然-cos（cosx）sinx≤0∴a≥0，故a的取值范圍是a≥0…（6分）
（2）由（1）知：當(dāng)a=1時，上是減函數(shù)
且
∴存在唯一…（8分）
同理由上是減函數(shù)
且
知存在
即cosf（d）=d成立…（10分）
由cosf（d）=d得f[cos（f（d））]=f（d）
及f（cosc）=c的唯一性知c=f（d），即c=sind
綜上可知，存在c，d使f（cosc）=c和cos[f（d）]=d同時成立，且c=sind…（13分）
點(diǎn)評：解決本題的靈魂在于“轉(zhuǎn)化”，先將單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，另外還要具備綜合應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力．