Question

如圖，直角坐標(biāo)系xoy中，有Rt△ABC，∠C=90°，D在邊BC上，BD=3DC，雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的漸近線方程；
（2）若△ABC的周長為12，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．BD=3DC，得c+a=3（c-a），由此能求出雙曲線E的漸近線方程；
（2）由（1）即可得到雙曲線E的方程．

解答：解：設(shè)雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴

|AB|2-|AC|2=16a2 |AB|+|AC|=12-4a |AB|-|AC|=2a

…（3分）
解之得a=1，∴c=2，b=

3

．
∴（1）雙曲線E的漸近線方程y=±

3

x；
（2）雙曲線E的方程為x²-

y2

3

=1．…（5分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．