Question

已知對于任意實數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x）．若方程f（x）=0有2011個實數(shù)解，則這2011個實數(shù)解之和為

0

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得到函數(shù)的圖象關(guān)于x=1對稱，得到函數(shù)的零點關(guān)于x=0（y軸）對稱，即方程f（x）=0的根關(guān)于x=0（y軸）對稱，得到方程f（x）=0的2011個實數(shù)解中有2010個成對，一個就是x=0，成對的兩個根之和等于0，得到所有根的和．

解答：解：∵對于任意實數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），
∴函數(shù)的圖象關(guān)于x=0（y軸）對稱，
∴函數(shù)的零點關(guān)于x=0（y軸）對稱，
∴方程f（x）=0的根關(guān)于x=0（y軸）對稱，
∴方程f（x）=0的2011個實數(shù)解中有2010個成對，一個就是x=0，
∴成對的兩個根之和等于0，
∴所有的根的和是0×1005+0=0
故答案為：0

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查關(guān)于直線對稱的圖形的特點，本題解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0（y軸）對稱，得到函數(shù)的零點是成對出現(xiàn)的，本題是一個基礎(chǔ)題．