Question

（2009•虹口區(qū)一模）（1）定義：若數(shù)列{d_n}滿足d_n+1=d_n²，則稱{d_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知：數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n²+2a_n．
①求證：數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”；
②求證：數(shù)列{lg（2a_n+1）}是等比數(shù)列；
③求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）已知：數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=p²b_n³+3pb_n²+3b_n（p＞0），求：數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）①依據(jù)“平方遞推數(shù)列”定義，結(jié)合條件a_n+1=2a_n²+2a_n，可證數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，
②令b_n=2a_n+1，進(jìn)而有l(wèi)gbn+1=2lgbn．從而可證數(shù)列{lgbn}為等比數(shù)列；
③由②知，數(shù)列{lg（2a_n+1）}是以lg5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可求
（2）兩邊同乘以p整理得，pb_n+1+1=（pb_n+1）³，兩邊取對(duì)數(shù)得：lg（pb_n+1+1）=3lg（pb_n+1），故數(shù)列{lg（pb_n+1）}是以lg（p+1）為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．

解答：解：（1）①由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”；
②令b_n=2a_n+1，∴b_n+1=2a_n+1+1．則lgb_n+1=2lgb_n．
∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．
數(shù)列{lg（2a_n+1）}是等比數(shù)列；
③由②知，lg（2a_n+1）=2n-1lg5=lg52n-1，∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

×52n-1-

1

2

（2）兩邊同乘以p得，pb_n+1=p³b_n³+3p²b_n²+3pb_n（p＞0），
∴pb_n+1+1=p³b_n³+3p²b_n²+3pb_n+1=（pb_n+1）³，
兩邊取對(duì)數(shù)得：lg（pb_n+1+1）=3lg（pb_n+1）
∴數(shù)列{lg（pb_n+1）}是以lg（p+1）為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列
∴l(xiāng)g（pb_n+1）=3^n-1lg（p+1）
∴b_n=

(p+1)3n-1-1

p

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列遞推式，主要考查新定義，將數(shù)列放到新情境中，關(guān)鍵是正確理解題意，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)與隱含，解題時(shí)應(yīng)注意構(gòu)造新數(shù)列，從而使問(wèn)題得解．