Question

已知集合P=[

1

2

，2]，函數(shù)y=log₂（ax²-2x+2）的定義域為Q．
（1）若P∩Q≠Φ，求實數(shù)a的取值范圍；
（5）若方程log₂（ax²-2x+2）=2在[

1

2

，2]內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）是一個存在性的問題，此類題求參數(shù)一般轉(zhuǎn)化為求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，
（2）也是一個存在性的問題，其與（1）不一樣的地方是其為一個等式，故應(yīng)求出解析式對應(yīng)函數(shù)的值域，讓該參數(shù)是該值域的一個元素即可保證存在性．

解答：解：（1）若P∩Q≠Φ，則在[

1

2

，2]內(nèi)至少存在一個x使ax²-2x+2＞0成立，
即a＞-

2

x2

+

2

x

=-2（

1

x

-

1

2

）²+

1

2

∈[-4，

1

2

]，
∴a＞-4（5分）
（2）方程log₂（ax²-2x+2）=2在[

1

2

，2]內(nèi)有解，則ax²-2x-2=0在[

1

2

，2]內(nèi)有解，
即在[

1

2

，2]內(nèi)有值使a=

2

x2

+

2

x

成立，
設(shè)u=

2

x2

+

2

x

=2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

，
當(dāng)x∈[

1

2

，2]時，u∈[

3

2

，12]，
∴a∈[

3

2

，12]，
∴a的取值范圍是

3

2

≤a≤12．（10分）

點評：考查存在性問題求參數(shù)范圍，本題中兩個小題都是存在性，因為其轉(zhuǎn)化的最終形式不一樣，所以求其參數(shù)方式不一樣，一是求最值，一是求值域．答題者應(yīng)細(xì)心體會其不同．此類題一般難度較大，要求有較強(qiáng)的邏輯推理能力進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)化．