Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＝1，a₂＝－13，a_n＋2－2a_n＋1＋a_n＝2n－6.

(1)設(shè)b_n＝a_n＋1－a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式.

(2)在(1)的條件下，求n為何值時(shí)，a_n最小.

Answer 1

(1)由a_n＋2－2a_n＋1＋a_n＝2n－6，得

(a_n＋2－a_n＋1)－(a_n＋1－a_n)＝2n－6，

∴b_n＋1－b_n＝2n－6.

當(dāng)n≥2時(shí)，b_n－b_n－1＝2(n－1)－6.

b_n－1－b_n－2＝2(n－2)－6，

……

b₃－b₂＝2×2－6，

b₂－b₁＝2×1－6，

累加得b_n－b₁＝2[1＋2＋…＋(n－1)]－6(n－1)

＝n(n－1)－6n＋6＝n²－7n＋6.

又b₁＝a₂－a₁＝－14.

∴b_n＝n²－7n－8(n≥2)，

n＝1時(shí)，b₁也適合此式，

故b_n＝n²－7n－8.

(2)由b_n＝(n－8)(n＋1)，得a_n＋1－a_n＝(n－8)(n＋1).

∴當(dāng)n<8時(shí)，a_n＋1<a_n.

當(dāng)n＝8時(shí)，a₉＝a₈，

當(dāng)n>8時(shí)，a_n＋1>a_n，

故當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)a_n最小.