Question

已知函數(shù)和

（I）函數(shù)在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？說明理由；

（II）求證：函數(shù)在區(qū)間（2，3）上有唯一零點(diǎn)；

（III）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，其中是導(dǎo)函數(shù), 求正整數(shù)K的最大值。

Answer 1

（1）減函數(shù)（2）見解析（3）3

解析:

（I）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。

由于

所以故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。

（II）因?yàn)?img width=180 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/21/14821.gif">

所以在（2，3）上是增函數(shù)

又

所以，函數(shù)在區(qū)間（2，3）上有唯一零點(diǎn)。

（III）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

即對于恒成立

設(shè)，則

由（II）知在區(qū)間上是增函數(shù)，

且存在唯一實(shí)數(shù)根,滿足，即

由時(shí)，；時(shí)，

知的最小值為

故正整數(shù)的最大值為3。