Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M．
（1）求拋物線方程；
（2）過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意可得4+

p

2

=5，可求p，進(jìn)而可求拋物線方程
（2）由題意可求點(diǎn)A，B，M，F(xiàn)，進(jìn)而可求直線FA的斜率k_FA，結(jié)合MN⊥FA，可求k_MN，然后寫(xiě)出FA的方程，MN的方程，聯(lián)立兩直線方程可求N

解答：解：（1）拋物線y²=2px的準(zhǔn)線x=-

p

2

，
于是，4+

p

2

=5，
∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4），由題意得B（0，4），M（0，2）．
又∵F（1，0），
∴k_FA=

4

3

．
又MN⊥FA，
∴k_MN=-

3

4

，
則FA的方程為y=

4

3

（x-1），
MN的方程為y-2=-

3

4

x，
解方程組

y-2=- 3 4 x y= 4 3 (x-1)

得 

x= 8 5 y= 4 5

∴N(

8

5

，

4

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)在求解拋物線的方程中的應(yīng)用，直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及兩條直線相交關(guān)系的應(yīng)用．