Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣M=

.

k 0 0 1

.

，N=

.

0 1 1 0

.

，點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)分別為A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面積是△ABC面積的2倍，
（1）求k的值．
（2）判斷變換MN是否可逆，如果可逆，求矩陣MN的逆矩陣；如不可逆，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先計(jì)算MN，再求點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)分別為A₁、B₁、C₁的坐標(biāo)，利用△A₁B₁C₁的面積是△ABC面積的2倍，可求k的值．
（2）先設(shè) B=

a b c d

是MN的逆矩陣，則則 AB=

0 k 1 0

a b c d

=

1 0 0 1

列出關(guān)于a，b，c，d的方程組，討論方程是否有解即可．

解答：解：（1）由題設(shè)得MN=

k 0

0 1

0 1

1 0

=

0 1

k 0

，
由

0 1

k 0

0 0

-2 0

-2 1

=

0 0

0 -2

k -2

，
可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（k，-2）．
計(jì)算得△ABC面積的面積是1，△A₁B₁C₁的面積是|k|，
則由題設(shè)知：|k|=2×1=2．
所以k的值為2或-2．
（2）令MN=A，設(shè) B=

a b c d

是A的逆矩陣，則 AB=

0 k 1 0

a b c d

=

1 0 0 1

⇒

ck dk a b

=

1 0 0 1

⇒

ck=1 dk=0 a=0 b=1

①當(dāng)k≠0時(shí)，上式⇒

a=0 b=1 c= 1 k d=0

，MN可逆，（8分）
所以MN的逆矩陣是 B=

0 1 1 k 0

．（10分）
②當(dāng)k≠0時(shí)，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查逆變換與逆矩陣、圖形在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下的變化特點(diǎn)，要求知識(shí)較少，但重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力．