設(shè)函數(shù)
,
的兩個極值點為
,線段
的中點為
.
(1) 如果函數(shù)為奇函數(shù),求實數(shù)
的值;當(dāng)
時，求函數(shù)圖象的對稱中心；
(2) 如果點在第四象限,求實數(shù)的范圍;
(3) 證明:點也在函數(shù)的圖象上,且為函數(shù)圖象的對稱中心.
（1）函數(shù)
圖象的對稱中心為（1，0）.
（2）
或
.
（3）由（2）得點
，推出點也在函數(shù)的圖象上.
設(shè)
為函數(shù)的圖象上任意一點，
求得關(guān)于
的對稱點為
證明在函數(shù)
的圖像上.證得為函數(shù)的對稱中心.
解析試題分析：（1）【法一】因為為奇函數(shù)，所以
, 得：
.
當(dāng)
時，
，有
，則為奇函數(shù). 4分
【法二】
,恒成立， 
, 求得.
當(dāng)時，，該圖象可由奇函數(shù)
的圖象向右平移一個單位得到， 可知函數(shù)圖象的對稱中心為（1，0）. 4分
（2）
,
令
，則
為
兩實根.
,
.
=
=
, 
點
在第四象限,得：
或. 10分
（3）由（2）得點，
又
=
，所以點也在函數(shù)的圖象上. 12分
設(shè)為函數(shù)的圖象上任意一點，關(guān)于的對稱點為
而
=
.
即
在函數(shù)的圖像上.
所以，為函數(shù)的對稱中心. 16分
【法二】設(shè)
. 
為奇函數(shù)，
對稱中心為
.
把函數(shù)的圖象按向量
平移后得的圖象，
為函數(shù)的對稱中心. 16分
考點：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的對稱性。
點評：中檔題，本題解法較多，緊緊圍繞函數(shù)圖象的對稱性展開討論。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
.
（1）設(shè)
時，求函數(shù)
極大值和極小值;
（2）
時討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
若函數(shù)
的定義域為
，其中a、b為任
意正實數(shù)，且a<b。
（1）當(dāng)A=
時，研究的單調(diào)性（不必證明）；
（2）寫出的單調(diào)區(qū)間（不必證明），并求函數(shù)的最小值、最大值；
（3）若
其中k是正整數(shù)，對一切正整數(shù)k不等式
都有解，求m的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
，
，其中
．
（1）若函數(shù)
是偶函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值；
（2）用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：當(dāng)
時，在區(qū)間
上為減函數(shù)；
（3）當(dāng)
，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)
圖象上方，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（12分）已知函數(shù)
是定義在
上的偶函數(shù)，已知當(dāng)
時，
.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求在區(qū)間
上的值域。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（12分）定義在
上的函數(shù)
，
，當(dāng)
時，
.且對任意的
有
。
（1）證明：
；
（2）證明：對任意的
，恒有
；
（3）證明：
是上的增函數(shù)；
（4）若
，求
的取值范圍。
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為實數(shù)，
，求
在
上最大值和最小值；
和
上都是遞增的，求
的值域。
是定義在
上的偶函數(shù)，且
時，
。 
，
；
，求
的取值范圍。