Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]內(nèi)的值域；
（2）c為何值時(shí)，ax²+bx+c≤0的解集為R？

Answer 1

分析：由題意可得當(dāng)x=-3和x=2時(shí)，有y=0，代入可求a，b，進(jìn)而可求f（x）
（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷其在[0，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的值域
（2）令g（x）=-3x²+5x+c，要使g（x）≤0的解集為R．則△≤0，解不等式可求

解答：解：由題意知f（x）的圖象是開(kāi)口向下，交x軸于兩點(diǎn)A（-3，0）和B（2，0）的拋物線，
對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-

1

2

（如圖）．

那么，當(dāng)x=-3和x=2時(shí)，有y=0，代入原式得

9a-3(b-8)-a-ab=0 4a+2(b-8)-a-ab=0

∴

a=0 b=8

或

a=-3 b=5

經(jīng)檢驗(yàn)a=0，b=8不符合題意，舍去．
∴f（x）=-3x²-3x+18．
（1）由圖象知，函數(shù)在[0，1]內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=0時(shí)，y=18，當(dāng)x=1時(shí)，y=12．
∴f（x）在[0，1]內(nèi)的值域?yàn)閇12，18]．
（2）令g（x）=-3x²+5x+c，
要使g（x）≤0的解集為R．
則需要方程-3x²+5x+c=0的根的判別式△≤0，
即△=25+12c≤0，解得c≤-

25

12

．
∴當(dāng)c≤-

25

12

時(shí)，ax²+bx+c≤0的解集為R．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)、二次方程及二次不等式之間的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及二次不等式的求解，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用