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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          a
          a2-1
          (ax-a-x),a>1

          (1)用a表示f(2),f(3),并化簡;
          (2)比較
          f(2)
          2
          f(1)
          1
          ,
          f(3)
          3
          f(2)
          2
          的大小,并由此歸納出一個(gè)更一般的結(jié)論.(不要求寫出證明過程).
          分析:(1)直接計(jì)算f(2),f(3),即可;
          (2)利用基本不等式和做差比較法比較大小,歸納結(jié)論,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.
          解答:解:(1)直接計(jì)算知:
          f(2)=a+a-1,f(3)=a2+a-2+1,
          (2)
          f(1)
          1
          =1
          ,
          f(2)
          2
          =
          1
          2
          (a+a-1)
          f(3)
          3
          =
          a2+1+a-2
          3
          ,
          根據(jù)基本不等式
          f(2)
          2
          =
          1
          2
          (a+a-1)>1=
          f(1)
          1
          ,
          f(3)
          3
          -
          f(2)
          2
          f(3)
          3
          -[
          f(2)
          2
          ]2=
          (a-a-1)2
          12
          >0
          ,
          所以
          f(3)
          3
          f(2)
          2
          f(1)
          1

          歸納:?x>0,
          f(x+1)
          x+1
          f(x)
          x

          g(x)=
          f(x)
          x
          ,x>0,g/(x)=
          xf/(x)-f(x)
          x2
          a
          x2
          ×
          x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)
          a2-1
          ,
          設(shè) h(x)=
          x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)
          a2-1

          則h(0)=0且 h/(x)=
          x(ax-a-x)ln2a
          a2-1
          ,
          討論知 h/(x)=
          x(ax-a-x)ln2a
          a2-1
          >0

          從而h(x)>h(0)=0,g′(x)>0,g(x)在R+上單調(diào)增加,
          所以?x>0,
          f(x+1)
          x+1
          f(x)
          x
          點(diǎn)評(píng):本題考查比較大小、歸納推理、函數(shù)單調(diào)性的證明及應(yīng)用,綜合性強(qiáng),難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x+1

          (1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
          (2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
          (3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)
          a-x  ,x≤0
          1  ,0<x≤3
          (x-5)2-a,x>3
          (a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
          (1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
          (2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
          (3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          1
          2x+1
          ,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
          A、
          1
          2
          B、2
          C、
          1
          3
          D、3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a(x-1)x2
          ,其中a>0.
          (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
          (III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x-1
          ,(a∈R)
          (1)求f(x)的定義域;
          (2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
          (3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案