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          如圖,兩個工廠A,B相距2km,點O為AB的中點,現(xiàn)要在以O為圓心,2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓,其中MA⊥AB,NB⊥AB.據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比,比例系數是1,辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比,比例系數是4,辦公樓受A,B兩廠的“總噪音影響度”y是受A,B兩廠“噪音影響度”的和,設AP為xkm.
          (Ⅰ)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系,并求出該函數的定義域;
          (Ⅱ)當AP為多少時,“總噪音影響度”最。

          解:(Ⅰ)連接OP,設∠AOP=α,則;
          在△AOP中,由余弦定理得x2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα,
          在△BOP中,由余弦定理得BP2=12+22-2×1×2cos(π-α)=5+4cosα,
          ∴BP2=10-x2.則;
          ,則,∴3≤5-4cosα≤7,
          ;
          所以,
          (Ⅱ)令t=x2,;
          ;
          由y'=0,得,或t=-10(舍去),
          ,函數在上單調遞減;
          ,函數在上單調遞增;
          ∴當時,即時,函數有最小值,
          也即當AP為km時,“總噪音影響度”最。
          分析:(Ⅰ)連接OP,設∠AOP=α,在△AOP中,由余弦定理得x2,在△BOP中,由余弦定理得BP2,從而得BP與x的關系,所以,“總噪音影響度”;定義域由∠α的取值得出x的取值范圍即可.
          (Ⅱ)用換元法,令t=x2,則;對y求導,令y'=0,得時,函數有最小值,
          即AP=(km)時,“總噪音影響度”最小即可.
          點評:本題考查了余弦定理的應用和導數在求函數最值問題中的應用;用求導法求函數最值時,要先求導,再令導數等于0,并判斷導數等于0的點是否為最值點.
          練習冊系列答案
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          (Ⅰ)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系,并求出該函數的定義域;
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          (I)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系式;
          (II)當AP為多少時,“總噪音影響度”最?(結果保留一位小數)

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          (1)求“總噪音影響度” y關于x的函數關系式,并指出函數的定義域;

          (2)當AP為多少時,“總噪音影響度”最小.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          如圖,兩個工廠A,B相距2 km,點OAB的中點,現(xiàn)要在以O為圓心,2 km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓,其中MAAB,NBAB.據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比,比例系數是1,辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比,比例系數是4,辦公樓受A,B兩廠的“總噪音影響度”y是受A,B兩廠“噪音影響度”的和,設APx km.

          (1)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系,并求出該函數的定義域;

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