【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，圓
的圓心為
．已知點
，且
為圓上的動點，線段
的中垂線交
于點
．
（1）求點的軌跡方程；
（2）設(shè)點的軌跡為曲線
，若四邊形
的四個頂點都在曲線上，對角線
，
互相垂直并且它們的交點恰為點
，求四邊形面積的取值范圍．
【答案】（1）
； （2）[
，2]．
【解析】
（1）根據(jù)條件可以判斷出
，則點
的軌跡是以
、
為焦點，長軸長為
的橢圓，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系表示出
，
，再表示出
即可．
解：（1）因為為線段
中垂線上一點，所以
，
因為
，
，所以，
則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，所以軌跡方程為
；
（2）因為對角線
，
互相垂直，所以，中至少有一條斜率存在，
不妨設(shè)的斜率為
，
當(dāng)
時，
，
，此時
，
當(dāng)
時，過點，故的方程為
，
將此式代入得
，
設(shè)
，
，
，
，則
，
，
從而
，
當(dāng)時，的斜率為
，同上可得
，
故四邊形
的
，
令
，當(dāng)且僅當(dāng)
時，
，
此時
，顯然是以
為自變量的增函數(shù)，
所以
，
綜上所述，四邊形面積的取值范圍是
．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓
的方程為
，直線
與圓交于
，
，直線
與圓交于
，
.原點
在圓內(nèi).
（1）求證：
.
（2）設(shè)
交
軸于點
，
交軸于點
.求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
，已知函數(shù)
與函數(shù)
有交點，且交點橫坐標(biāo)之和不大于
，求
的取值范圍_________。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖,正方形
與梯形
所在的平面互相垂直， 
，
,點
在線段
上.
(Ⅰ) 若點為的中點，求證：
平面；
(Ⅱ) 求證：平面
平面
；
(Ⅲ) 當(dāng)平面
與平面
所成二面角的余弦值為
時，求
的長.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）設(shè)
，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線
與
在公共點
處有相同的切線，求點的橫坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)
，且曲線與總存在公切線，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，討論
的單調(diào)性；
（2）若
，且對于函數(shù)的圖象上兩點
，
，存在
，使得函數(shù)的圖象在
處的切線
.求證；
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為更好地落實農(nóng)民工工資保證金制度，南方某市勞動保障部門調(diào)查了
年下半年該市
名農(nóng)民工（其中技術(shù)工、非技術(shù)工各
名）的月工資，得到這名農(nóng)民工月工資的中位數(shù)為
百元（假設(shè)這名農(nóng)民工的月工資均在
（百元）內(nèi)）且月工資收入在
（百元）內(nèi)的人數(shù)為
，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖：
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有
名，非技術(shù)工有
名，則能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系？
參考公式及數(shù)據(jù)：
，其中
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，一樓房高
為
米，某廣告公司在樓頂安裝一塊寬
為
米的廣告牌，
為拉桿，廣告牌的傾角為
，安裝過程中，一身高為
米的監(jiān)理人員
站在樓前觀察該廣傳牌的安裝效果：為保證安全，該監(jiān)理人員不得站在廣告牌的正下方：設(shè)
米，該監(jiān)理人員觀察廣告牌的視角
.
（1）試將
表示為
的函數(shù)；
（2）求點
的位置，使
取得最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在十九大“建設(shè)美麗中國”的號召下，某省級生態(tài)農(nóng)業(yè)示范縣大力實施綠色生產(chǎn)方案，對某種農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)方式分別進(jìn)行了甲、乙兩種方案的改良。為了檢查甲、乙兩種方案的改良效果，隨機在這兩種方案中各任意抽取了40件產(chǎn)品作為樣本逐件稱出它們的重量（單位：克），重量值落在
之間的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品。下表是甲、乙兩種方案樣本頻數(shù)分布表。
產(chǎn)品重量 | 甲方案頻數(shù) | 乙方案頻數(shù) |
| 6 | 2 |
| 8 | 12 |
| 14 | 18 |
| 8 | 6 |
| 4 | 2 |
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求甲(同組中的重量值用組中點數(shù)值代替)方案樣本中40件產(chǎn)品的平均數(shù)和中位數(shù)
（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面
列聯(lián)表，并回答有多大把握認(rèn)為“產(chǎn)品是否為合格品與改良方案的選擇有關(guān)”.
甲方案 | 乙方案 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
參考公式：
，其中
.
臨界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.814 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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