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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          對于任意非零實數x，y，已知函數y=f（x）（x≠0），滿足f（xy）=f（x）+f（y）
          （1）求f（1）；f（-1）；
          （2）判斷y=f（x）的奇偶性．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）根據條件中的恒等式，可對x、y進行賦值，令x=y=1，求出f（1）的值，令x=y=-1，求出f（-1）的值；
          （2）根據f（-1）=0，令y=-1，可得到f（-x）與f（x）的關系，根據奇偶性的定義可進行判定．
          解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
          ∴f（1）=0，
          令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
          ∴f（-1）=0，
          綜上，f（1）=0，f（-1）=0，
          （2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
          又f（-1）=0，
          ∴f（-x）=f（x），
          又∵f（x）不恒為0，
          ∴f（x）為偶函數．
          點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數奇偶性的判斷，對于抽象函數問題，賦值法是常用的方法，屬于基礎題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知對于任意非零實數m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求實數x的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知定義在R上的函數f（x）滿足：f(1)=
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          ，且對于任意實數x，y，總有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
          （I）求f（0）的值，并證明函數f（x）為偶函數；
          （II）定義數列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{an}的通項公式；
          （III）若對于任意非零實數y，總有f（y）＞2．證明：對于任意m，n∈N*，若m＞n，則f（m•y）＞f（n•y）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （Ⅰ）已知函數f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．
          （i）求函數f（x）的單調區(qū)間；
          （ii）證明：若對于任意非零實數x1，曲線C與其在點P1（x1，f（x1））處的切線交于另一點P2（x2，f（x2）），曲線C與其在點P2（x2，f（x2））處的切線交于另一點P3（x3，f（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，S2．則
          S1S2
          為定值；
          （Ⅱ）對于一般的三次函數g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          對于任意非零實數x,y，函數y=f(x)(x≠0)滿足f（xy）=f(x)+f(y). 
          （1）求證：f(1)=f(-1)=0；
          （2）求證：y=f(x)是偶函數；
          （3）若y=f(x)在（0，+∞）上是增函數，解不等式f(x)+f(x-)≤0.
          

			
          

			
          
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