Question

已知點(diǎn)A（－2,0），B（2,0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：,且

   （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Q的方程；

   （Ⅱ）過點(diǎn)B的直線l與軌跡Q交于兩點(diǎn)M，N。試問x軸上是否存在定點(diǎn)C，使 為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，由余弦定理得：,

即16=

=

.     ,即　

（當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B共線時(shí)也符合上述結(jié)論）

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為的雙曲線.

所以，軌跡G的方程為x²-y²=2.   

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)C(m,0),使為常數(shù).

（1）當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，

設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),代入x²-y²=2整理得:

(1-k²)x²+4k²x-(4k²+2)=0.           

由題意知，k≠±1.

設(shè)M(x₁,y₁) ,N(x₂,y₂),則x₁+x₂=,.

于是，  

.          

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m=1，此時(shí).

（2）當(dāng)直線 與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn)，

當(dāng)m=1時(shí)，.   

故在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0),使為常數(shù).