Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)．
（1）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離；
（2）求（1）中的點(diǎn)N到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-BDP，求出A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)，設(shè)出

NE

=（-x，

1

2

，1-z），利用

NE • AP =0 NE • AC =0

，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

3

6

，0，1），即可得到N到AB、AP的距離分別為1．
（2）設(shè)N到平面PAC的距離為d，通過(guò)d=

| NA • NE |

| NE |

直接求解即可．

解答：解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-BDP，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別是A（0，0，0）、B（

3

，0，0）、C（

3

，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，

1

2

，1），依題設(shè)N（x，0，z），則

NE

=（-x，

1

2

，1-z），由于NE⊥平面PAC，
∴

NE • AP =0 NE • AC =0

即

(-x， 1 2 ，1-z)•(0，0，2)=0 (-x， 1 2 ，1-z)•( 3 ，1，0)=0

⇒

z-1=0 - 3 x+ 1 2 =0

⇒

x= 3 6 z=1

，
即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

3

6

，0，1），
從而N到AB、AP的距離分別為1．
（2）設(shè)N到平面PAC的距離為d，則d=

| NA • NE |

| NE |

=

|( 3 6 ，0，1)•(- 3 6 ， 1 2 ，0)|

|(- 3 6 ， 1 2 ，0)|

=

1

12

×

3

=

3

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的兩點(diǎn)間的距離的求法，點(diǎn)到平面的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．