Question

如果實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²-4x+1=0求：
（1）x²+y²的最值；
（2）x-y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，滿足x²+y²-4x+1=0的點(diǎn)P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為

3

的圓上，而x²+y²=|OP|²．因此當(dāng)P、O、C三點(diǎn)共線時(shí)，|OP|達(dá)到最大值或最小值．由此結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出x²+y²的最大值和最小值；
（2）令x-y=t，得到動(dòng)直線l：x-y-t=0，將直線l進(jìn)行平移，當(dāng)l與圓C：（x-2）²+y²=3相切時(shí)，t達(dá)到最大或最小值．由此結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，即可得到t的最大值和最小值，從而求出x-y的最大值．

解答：解：（1）∵實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²-4x+1=0，可化成（x-2）²+y²=3
∴滿足x²+y²-4x+1=0的點(diǎn)P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為

3

的圓上
而x²+y²=|OP|²，
∵當(dāng)P、O、C三點(diǎn)共線時(shí)，|OP|達(dá)到最大值或最小值
∴當(dāng)圓C上的點(diǎn)P在OC延長(zhǎng)線上時(shí)，|OP|的最大值為|OC|+

3

=2+

3

得到x²+y²的最大值為（2+

3

）²=7+4

3

；
當(dāng)圓C上的點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，|OP|的最小值為|OC|-

3

=2-

3

得到x²+y²的最大值為（2-

3

）²=7-4

3

．
綜上所述，x²+y²的最大值為7+4

3

；最小值為7-4

3

     …（7分）
（2）令x-y=t，即x-y-t=0對(duì)應(yīng)直線l
將直線l平移，當(dāng)l與圓C：（x-2）²+y²=3相切時(shí)，t達(dá)到最大或最小值
由d=

|2-t|

2

=

3

，得t=2±

6

∴t的最小值為2-

6

，最大值為2+

6

綜上所述，可得x-y的最大值為2+

6

    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足二次方程的實(shí)數(shù)x、y，求x²+y²和x-y的最值，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和二元函數(shù)最值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．