Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)對任意實數(shù)均有，其中常數(shù)為負數(shù)，且在區(qū)間上有表達式.

（1）求，的值；

（2）寫出在上的表達式，并討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值.

 

Answer 1

【答案】

（1），

 

（2）

 

在與上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；

（3）①而在處取得最小值，在處取得最大值．

②時，在與處取得最小值，在與處取得最大值．

③時，在處取得最小值，在處取得最大值．

【解析】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，考查了分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法，考查轉(zhuǎn)化與化歸的能力、邏輯推理能力。

（1），

．

（2）對任意實數(shù)，

．

當時，；

當時，．

故

在與上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；

（3）由函數(shù)在上的單調(diào)性可知，

在或處取得最小值或，而在或處取得最大值或．

故有

①而在處取得最小值，在處取得最大值．

②時，在與處取得最小值，在與處取得最大值．

③時，在處取得最小值，在處取得最大值．

點評：函數(shù)基本性質(zhì)的考查是高考熱點問題之一，從近幾年的高考看，函數(shù)問題是高考中的重點考查內(nèi)容之一，分值近40分左右，主要是考查函數(shù)解析式、定義域、值域（最值、參數(shù)取值范圍）、函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，考查的函數(shù)也是常見的二次函數(shù)、指數(shù)對數(shù)函數(shù)為主，但會將這幾種函數(shù)結(jié)合起來、將抽象函數(shù)與具體函數(shù)結(jié)合起來的趨勢，這種命題的趨勢在今后幾年內(nèi)繼續(xù)保持。