Question

（2012•嘉定區(qū)三模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2且AC⊥BC，直線A₁B與平面BCC₁B₁所成角的大小為arcsin

3

3

．
（1）求三棱錐B₁-A₁BC₁的體積；
（2）求點C到平面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）證明A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，可得直線A₁B與平面BCC₁B₁所成角，求出三棱柱的棱長，利用三棱錐B₁-A₁BC₁的體積等于三棱錐A₁-B₁BC₁的體積，可得結論；
（2）證明則B₁C⊥平面A₁BC₁，即可求點C到平面A₁BC₁的距離．

解答：解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，
∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，
∵直線A₁B與平面BCC₁B₁所成角的大小為arcsin

3

3

∴∠A₁BC₁=arcsin

3

3

∵AC=BC=2，∴A₁B=2

3

，∴BC₁=2

2

，∴CC₁=2
∵三棱錐B₁-A₁BC₁的體積等于三棱錐A₁-B₁BC₁的體積
∴三棱錐B₁-A₁BC₁的體積等于

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

；
（2）連接B₁C，則B₁C⊥平面A₁BC₁，
∵CBB₁C₁是正方形
∴點C到平面A₁BC₁的距離是

2

．

點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查線面角，考查點到面的距離的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．