Question

設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且（3+4i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限的角平分線上，若|

2

z-m|=5

2

 （m∈R），求z和m的值．

Answer 1

分析：設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用|z|=5，且（3+4i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限的角平分線上，得到方程組，求出復(fù)數(shù)z，
然后利用|

2

z-m|=5

2

 （m∈R），求出實數(shù)m即可．

解答：解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，得x²+y²=25 （2分）
（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i（3分）
又因為（3+4i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限平分線上，
所以，（3x-4y）+（4x+3y）=0，得y=7x，
由

y=7x x2+y2=25

⇒

x= 2 2 y= 7 2 2

或

x=- 2 2 y=- 7 2 2

即z=

2

2

+

7 2

2

i或z=-

2

2

-

7 2

2

i （7分）
當z=

2

2

+

7 2

2

i時，由|

2

z-m|=5

2

即|1+7i-m|=5

2

，得m=0或m=2 （9分）
當z=-

2

2

-

7 2

2

i時，由|

2

z-m|=5

2

即|-1-7i-m|=5

2

，得m=0或m=-2 （12分）

點評：本題考查復(fù)數(shù)的求法，模的應(yīng)用，正確利用已知條件，處理好關(guān)系，得到方程組是解題的關(guān)鍵．