Question

如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，且AB=AD=1，BC=3，SB與平面ABCD所成的角為45°，E為SD的中點．
（Ⅰ）若F為線段BC上的一點且BF=BC，求證：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求點B到平面SDC的距離；
（Ⅲ）在線段 BC上是否存在一點G，使二面角G﹣SD﹣C的大小為arccos若存在，求出BG的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）   取SA的中點H，連接EH，BH．
由HE∥AD，BF∥AD，且HE= 
∴HE∥BF，BF=HE，
∴四邊形EFBH為平行四邊形．
∴EF∥BH，BH平面SAB，EF平面SAB，
∴EF∥平面SAB．
 
（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD
∴∠SBA是AB與平面ABCD所成的角
∴∠SBA=45°，SA=AB=1                                     
 以A為原點，AB為x軸，圖所示建立直角坐標系，
 
則B（1，0，0），S（0，0，1），D（0，1，0）C（1，3，0）
∴=（1，2，0）=（0．﹣1.1）=（0，3，0）
設=（x₁，y₁，z₁）是平SDC的法向量，則=0， =0 
∴
∴
取
B到平SDC的距離為d==
（Ⅲ） 假設存在，設BG=a，則G（1，a，0）（0＜a＜3）
∴
設=（x₂，y₂，z₂）是平面DGS的法向量，則=0，=0
∴
取
由=，得a²=2+（1﹣a）²
∴，
故線段 BC上存在一點G存在G點滿足要求．且