Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a1=4，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，(n≥2，n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II） 已知b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*），求證：（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．

Answer 1

分析：（I）直接利用sn=nan+2-

n(n-1)

2

，構(gòu)造新等式求出求數(shù)列{a_n}的遞推公式，找到數(shù)列{a_n}的項(xiàng)的規(guī)律進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II） 先構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，利用函數(shù)的單調(diào)性來對(duì)ln（1+

1

bn•bn+1

）的通項(xiàng)進(jìn)行放縮，再利用裂項(xiàng)求和法求和即可證：（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．．

解答：解：（I）當(dāng)n≥3時(shí)，由sn=nan+2-

n(n-1)

2

，
S_n-1=（n-1）a_n-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，
可得an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2，
故a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N⁺）．
所以a_n=

4     n=1 n+1      n≥2

（II）設(shè)f（x）=ln（1+x）-x，則f'（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x
∵n≥2時(shí)，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，ln（1+

1

bn•bn+1

）＜

1

bn•bn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴l(xiāng)n（1+

1

b2•b3

）+ln（1+

1

b3• b4

）+…+ln（1+

1

bn•bn+1

）＜

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

．
∴（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．