Question

在數(shù)列中，，且對(duì)任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。
（Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（）
（Ⅱ）若對(duì)任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。 證明：對(duì)任意,,有

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題設(shè)，可得。
所以
=
=2k(k+1)
由=0，得
于是。
所以成等比數(shù)列。
（Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得
當(dāng)≠1時(shí)，可知≠1，k
從而
所以是等差數(shù)列，公差為1。
（Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有

所以
因此，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
（1）  當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m()
若m=1,則.
若m≥2，則
+

所以
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（）


所以從而···
綜合（1）（2）可知，對(duì)任意,,有
證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得
所以

由可知。可得，
所以是等差數(shù)列，公差為1。
（ii）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143403524445.gif" style="vertical-align:middle;" />所以。
所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ，故。
從而。
所以，由，可得
。
于是，由（i）可知
以下同證法一。