Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過(guò)點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
   （�。┣笞C：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
   （ⅱ）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，可得a=2且c=1，利用平方關(guān)系算出b²=3，因此可求出橢圓C的方程；
（II）（�。└鶕�(jù)題意，得F（1，0），N（4，0）．設(shè)A（m，n），則B（m，-n），可得AF、BN以m、n為參數(shù)的方程，聯(lián)解得出M（

5m-8

2m-5

，

3n

2m-5

），再M(fèi)坐標(biāo)代入橢圓方程加以驗(yàn)證，即可得到點(diǎn)M恒在橢圓C上；
（ii）設(shè)AM的方程為x=ty+1，與橢圓方程消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0．設(shè)A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），由韋達(dá)定理將y₁+y₂、y₁y₂表示為關(guān)于t的式子，從而可得|y₁-y₂|=

4 3 • 3+3t2

3t2+4

，然后換元：令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂=4

3

•

-( 1 λ - 1 2 )2+ 1 4

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)算出當(dāng)

1

λ

=

1

4

時(shí)即t=0時(shí)，|y₁-y₂|取得最大值3，由此可得△AMN面積的最大值為

9

2

．

解答：解：（I）由題意得a=2且c=1
∴為

x2

4

+

y2

3

=1
（II）（�。└鶕�(jù)題意，得F（1，0），N（4，0）
設(shè)A（m，n），則B（m，-n） （n≠0）
可得

m2

4

+

n2

3

=1
∵AF、BN方程分別為m（x-1）-（m-1）y=0
和m（x-4）-（m-4）y=0
∴M（x₀，y₀）滿足

m(x0-1)-(m-1)y0=0 m(x0-4)-(m-4)y0=0

，
聯(lián)解得x₀=

5m-8

2m-5

，y₀=

3n

2m-5

由于

x02

4

+

y02

3

=

1

4

(

5m-8

2m-5

)2+

1

3

(

3n

2m-5

)2=

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m 2

4(2m-5)2

=1
所以點(diǎn)M恒在橢圓C上；
（ii）設(shè)AM的方程為x=ty+1，與

x2

4

+

y2

3

=1消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0
設(shè)A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），可得y₁+y₂=

-6t

3t2+4

，y₁y₂=

-9

3t2+4

∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=（

-6t

3t2+4

）²+

36

3t2+4

=

144t2+144

(3t2+4)2

可得|y₁-y₂|=

144t2+144 (3t2+4)2

=

4 3 • 3+3t2

3t2+4

令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂|=4

3

•

- 1 λ2 + 1 λ

=4

3

•

-( 1 λ - 1 2 )2+ 1 4

∵λ≥4，可得

1

λ

∈（0，

1

4

]，
∴當(dāng)

1

λ

=

1

4

時(shí)，即t=0時(shí)，|y₁-y₂|取得最大值3，此時(shí)AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)F
∵△AMN面積S=

1

2

|FN|•|y₁-y₂|=

3

2

|y₁-y₂|≤

9

2

∴當(dāng)t=0時(shí)，即直線AB與x軸垂直時(shí)，△AMN面積的最大值為

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程，并求證直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)、求△AMN面積的最大值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．