Question

已知2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），則下列說法正確的是（　�。�

A．f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）上為增函數(shù)

B．f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）上為減函數(shù)

C．f（x）為偶函數(shù)且在（-∞，0）上為增函數(shù)

D．f（x）為偶函數(shù)且在（-∞，0）上為減函數(shù)

Answer 1

分析：使用方程組法，可以求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案．

解答：解：∵2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

…①
∴2f（

1

x

）+f（x）=-3x…②
①×2-②得
3f（x）=-

6

x

+3x
∴f（x）=-

2

x

+x
易得在x≠0時，f（-x）=-f（x）恒成立，故函數(shù)為奇函數(shù)
又∵在（-∞，0）上y=-

2

x

為增函數(shù)，y=x也為增函數(shù)
∴f（x）=-

2

x

+x在（-∞，0）上為增函數(shù)
故選A

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)解析的求法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中利用方程組法求出函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．