Question

過原點(diǎn)O作圓x²+y²-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的軌跡上的動點(diǎn)，
①求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值；
②求N=

y

x+2

的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）注意到：∠OMC=90°，動點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，故可以求出圓心與半徑，寫出圓的方程．
（2）要求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值，只需求（x+2）²+（y-3）²的最大、最小值，（x+2）²+（y-3）²表示（x，y）與E（-2，3）兩點(diǎn)間距離的平方，即圓（x-2）²+y²=4上的點(diǎn)與E（-2，3）兩點(diǎn)間距離的平方，故可求；
（3）N=

y

x+2

表示圓（x-2）²+y²=4上的點(diǎn)與點(diǎn)P（-2，0）連線的斜率，求出過（-2，0）的直線與圓相切時(shí)的斜率，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）圓x²+y²-8x=0的圓心坐標(biāo)為C（4，0）
∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，OA為圓的弦
∵∠OMC=90°，
∴動點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，
∵C（4，0）
∴動點(diǎn)M的圓心坐標(biāo)為：（2，0），半徑為：2
∴所求點(diǎn)的軌跡方程為x²+y²-4x=0．
（2）x²+y²-4x=0可化為（x-2）²+y²=4，圓心為B（2，0），半徑為2
①T=x²+y²+4x-6y=（x+2）²+（y-3）²-13
要求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值，只需求（x+2）²+（y-3）²的最大、最小值
（x+2）²+（y-3）²表示（x，y）與E（-2，3）兩點(diǎn)間距離的平方，即圓（x-2）²+y²=4上的點(diǎn)與E（-2，3）兩點(diǎn)間距離的平方
∵圓（x-2）²+y²=4上的點(diǎn)與E（-2，3）兩點(diǎn)間距離，最大為|BE|+2=5+2=7，最小為|BE|-2=5-2=3
∴（x+2）²+（y-3）²的最大值為49、最小值為9
∴T=x²+y²+4x-6y=（x+2）²+（y-3）²-13的最大值36 最小值-4
②N=

y

x+2

表示圓（x-2）²+y²=4上的點(diǎn)與點(diǎn)P（-2，0）連線的斜率，當(dāng)過（-2，0）的直線與圓相切時(shí)，由于|PB|=4，圓的半徑為2，∴切線的傾斜角為30°或150°
∴圓（x-2）²+y²=4上的點(diǎn)與點(diǎn)P（-2，0）連線的斜率的最大值

3

3

，最小值-

3

3

∴N=

y

x+2

的最大值

3

3

，最小值-

3

3

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求法，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求函數(shù)的最值，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．