Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=．
（Ⅰ）當a=時，討論f（x），在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x），在（-∞，0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先確定x＜0時函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先確定x＜0時函數(shù)的解析式，再利用f（x）在（-∞，0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，建立不等式，分離參數(shù)，即可確定a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當a=時，設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=，
∴f（-x）=
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-（x＜0）
∴f′（x）=--
令f′（x）＜0，可得x＞-1；令f′（x）＞0，可得x＜-1
∴函數(shù)在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）x＜0時，f（x）=-
∴f′（x）=--
∵f（x）在（-∞，0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴--≤0在（-∞，0）上恒成立
∴≥-在（-∞，0）上恒成立
∵-=≤1
∴≥1，
∴a≥2．
點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，綜合性強．