Question

【題目】已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)．

（1）若，求a的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）化簡并對其求導(dǎo)，由的值構(gòu)建方程，求得a，進(jìn)而由點(diǎn)斜式表示切線方程；

（2）對求導(dǎo)，令，表示兩根，利用分類討論含參數(shù)的根所在區(qū)間，從而得其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)關(guān)系，即原函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)增減.

（1），，

則，，，，

因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；

（2），，

令，得，．

①當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

②當(dāng)時，即當(dāng)時，

此時，當(dāng)，則；

當(dāng)時，．

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，．

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減．