Question

（2012•黑龍江）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

1

2

AA1，D是棱AA₁的中點(diǎn)，DC₁⊥BD
（1）證明：DC₁⊥BC
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）證明DC₁⊥BC，只需證明DC₁⊥面BCD，即證明DC₁⊥DC，DC₁⊥BD；
（2）證明BC⊥面ACC₁A₁，可得BC⊥AC取A₁B₁的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C₁O，C₁H，可得點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角，由此可求二面角A₁-BD-C₁的大小．

解答：（1）證明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°
∴DC₁⊥DC，DC₁⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC₁⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC₁⊥BC
（2）解：∵DC₁⊥BC，CC₁⊥BC，DC₁∩CC₁=C₁，∴BC⊥面ACC₁A₁，
∵AC?面ACC₁A₁，∴BC⊥AC
取A₁B₁的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C₁O，OH
∵A₁C₁=B₁C₁，∴C₁O⊥A₁B₁，
∵面A₁B₁C₁⊥面A₁BD，面A₁B₁C₁∩面A₁BD=A₁B₁，
∴C₁O⊥面A₁BD
而BD?面A₁BD
∴BD⊥C₁O，
∵OH⊥BD，C₁O∩OH=O，
∴BD⊥面C₁OH∴C₁H⊥BD，∴點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角
設(shè)AC=a，則C1O=

2 a

2

，C1D=

2

a=2C1O，
∴sin∠C₁DO=

1

2

∴∠C₁DO=30°
即二面角A₁-BD-C₁的大小為30°

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．