Question

已知點A（-1，0）、B（1，0）和動點M滿足∠AMB=2θ，且|AM||BM|cos²θ=3，動點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l過點（-1，0），且與曲線C交于P，Q兩點，求△BPQ的內(nèi)切圓面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知結(jié)合余弦定理，可得AM+BM=4＞AB=2，即M的軌跡為橢圓，進而求出a，b，c值，可得橢圓的標準方程；
（2）由于△BPQ為橢圓的焦點三角形，可得其周長為4a，根據(jù)三角形面積公式，可得△BPQ的面積S=4r，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理及基本不等式，求出三角形面積的最大值，可求出內(nèi)切圓半徑，進而得到內(nèi)切圓的面積．

解答：解：（I）由余弦定理得AB²=AM²+BM²-2AM•BM•cos2θ=AM²+BM²-4AM•BM•cos²+2AM•BM
∴AM+BM=4＞AB=2
故M的軌跡為橢圓，其中c=1，a=2，b=

3

∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由（I）知△BPQ為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的焦點三角形，周長為4a=8
則△BPQ的面積S=

1

2

•4a•r=4r（r為△BPQ的內(nèi)切圓半徑）
故當△BPQ的面積最大進，其內(nèi)切圓面積最大；
設(shè)直線l的方程為：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
由

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

得：（4+3k²）y²-6ky-9=0
則y₁+y₂=

6k

3k2+4

，y₁+y₂=

-9

3k2+4

∴S=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=

12 k2+1

3k2+4

令t=

k2+1

，（t≥1）
則S=

12

3t+ 1 t

，
∵y=3t+

1

t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故當t=1時，S取最大值3
此時r=

3

4

即△BPQ的內(nèi)切圓面積的最大值為

9π

16

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，橢圓的標準方程，其中解答（2）時的三駕馬車“聯(lián)立方程，設(shè)而不求，韋達定理”是解答的關(guān)鍵．